与えられた行列が対角化可能かどうかを判断し、可能であれば対角化します。与えられた行列は次の2つです。 (1) $\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & -2 \\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列が対角化可能かどうかを判断し、可能であれば対角化します。与えられた行列は次の2つです。

(1) $\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & -2 \\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) $\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$の場合

まず、固有値を求めます。特性方程式は

$det(A - \lambda I) = 0$

$\begin{vmatrix} 4-\lambda & 2 \\ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda-2)(\lambda-5) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 2$ と $\lambda_2 = 5$ です。

次に、各固有値に対する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 2$の場合:

$(A - 2I)v = 0$

$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + y = 0$ より、$y = -x$。したがって、固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$です。

$\lambda_2 = 5$の場合:

$(A - 5I)v = 0$

$\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 2y = 0$ より、$x = 2y$。したがって、固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$です。

固有ベクトルを並べて行列 $P$ を作ります。$P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$。

$P^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。

対角化された行列 $D = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$です。

(2) $\begin{pmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & -2 \\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix}$の場合

まず、固有値を求めます。特性方程式は

$det(A - \lambda I) = 0$

$\begin{vmatrix} 3-\lambda & 2 & -2 \\ 2 & 3-\lambda & -2 \\ -2 & -2 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)((3-\lambda)^2 - 4) - 2(2(3-\lambda) - 4) - 2(-4 + 2(3-\lambda)) = (3-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 5) - 2(6 - 2\lambda - 4) - 2(-4 + 6 - 2\lambda) = (3-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-5) - 2(2 - 2\lambda) - 2(2 - 2\lambda) = (3-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-5) - 8 + 8\lambda = -\lambda^3 + 9\lambda^2 - 15\lambda + 25 - 8 + 8\lambda = -\lambda^3 + 9\lambda^2 - 23\lambda + 15 = -(\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda-5)=0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 3$, $\lambda_3 = 5$ です。

次に、各固有値に対する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 1$の場合:

$(A - I)v = 0$

$\begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + y - z = 0$ より、$z = x + y$。したがって、固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$です。

$\lambda_2 = 3$の場合:

$(A - 3I)v = 0$

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 2 & 0 & -2 \\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$y = z$, $x = z$, $x + y = 0$ より、$x = y = z = 0$

$y-z=0, x-z=0, x+y=0$　より、$x=-y, y=z$。$x=-z$。よって固有ベクトルは$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$で誤りです。

$y=z, x=z$。従って、$x+y=0, x=z, y=z,x=y=-x$. $x=z,x+x=0, x=0$,

$y=z,2z=0$ で矛盾する. よって固有空間の次元は1次元です。

$\begin{pmatrix} -2 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}

$,$y=-z, x=z$。$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$です。

$\lambda_3 = 5$の場合:

$(A - 5I)v = 0$

$\begin{pmatrix} -2 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + y - z = 0, x-y-z=0, -x -y -z=0$

固有ベクトルは $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

固有ベクトルを並べて行列 $P$ を作ります。$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。

対角化された行列 $D = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$です。

3. 最終的な答え

(1) 対角化可能であり、$P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$、$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$。

(2) 対角化可能であり、$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$、$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$。