実数 $a$, $b$, $c$ が $a+b+c=1$ および $a^2+b^2+c^2=13$ を満たしている。 (1) $(a+b+c)^2$ を展開した式を利用して、$ab+bc+ca$ を求める。また、$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ を求める。 (2) $a-b=2\sqrt{5}$ の場合に、$(a-b)(b-c)(c-a)$ の値を求める。$b-c=x, c-a=y$ とおくと、$x+y$ を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$, $b$, $c$ が $a+b+c=1$ および $a^2+b^2+c^2=13$ を満たしている。

(1) $(a+b+c)^2$ を展開した式を利用して、$ab+bc+ca$ を求める。また、$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ を求める。

(2) $a-b=2\sqrt{5}$ の場合に、$(a-b)(b-c)(c-a)$ の値を求める。$b-c=x, c-a=y$ とおくと、$x+y$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ を利用する。

$1^2 = 13+2(ab+bc+ca)$ より、

$2(ab+bc+ca) = 1-13 = -12$

$ab+bc+ca = -6$

次に、$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ を求める。

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2 = 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)$

$= 2(13)-2(-6) = 26+12 = 38$

(2) $a-b=2\sqrt{5}$ の場合、$b-c=x, c-a=y$ とおくと、$x+y$ を求める。

$a-b+b-c+c-a = 0$ より、$(a-b)+(b-c)+(c-a) = 0$

$a-b+x+y=0$

$2\sqrt{5}+x+y=0$

$x+y = -2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $ab+bc+ca = -6$

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = 38$

(2) $x+y = -2\sqrt{5}$