実数 $a, b, c$ が $a+b+c=1$ および $a^2+b^2+c^2=13$ を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) $ab+bc+ca$ および $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ の値を求める。 (2) $a-b=2\sqrt{5}$ の場合に、$(a-b)(b-c)(c-a)$ の値を求める。ただし、$b-c=x, c-a=y$ とする。

1. 問題の内容

実数 $a, b, c$ が $a+b+c=1$ および $a^2+b^2+c^2=13$ を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) $ab+bc+ca$ および $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ の値を求める。

(2) $a-b=2\sqrt{5}$ の場合に、$(a-b)(b-c)(c-a)$ の値を求める。ただし、$b-c=x, c-a=y$ とする。

2. 解き方の手順

(1) まず、$ab+bc+ca$ を求める。$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ より、

$1^2 = 13 + 2(ab+bc+ca)$

$1 = 13 + 2(ab+bc+ca)$

$2(ab+bc+ca) = -12$

$ab+bc+ca = -6$

よって、アイは -6。

次に、$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ を求める。

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = a^2-2ab+b^2 + b^2-2bc+c^2 + c^2-2ca+a^2$

$= 2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca)$

$= 2(13) - 2(-6)$

$= 26 + 12 = 38$

よって、ウエは 38。

(2) $b-c=x, c-a=y$ とおくと、$x+y = (b-c)+(c-a) = b-a = -(a-b) = -2\sqrt{5}$

よって、オカは -2。

また、$x^2+y^2 = (b-c)^2 + (c-a)^2$ であり、

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = 38$ より、

$(2\sqrt{5})^2 + x^2+y^2 = 38$

$20 + x^2+y^2 = 38$

$x^2+y^2 = 18$

よって、キクは 18。

$x+y = -2\sqrt{5}$ より、 $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 = (-2\sqrt{5})^2 = 20$

$x^2+y^2 = 18$ なので、 $18+2xy = 20$

$2xy = 2$

$xy = 1$

求める値は $(a-b)(b-c)(c-a) = (2\sqrt{5})(x)(y) = (2\sqrt{5})(xy) = 2\sqrt{5}$

よって、ケは 2。

3. 最終的な答え

アイ: -6

ウエ: 38

オカ: -2

キク: 18

ケ: 2