関数 $y = 2x^2 + 4ax$ (ただし、$0 \le x \le 2$) の最大値と最小値を、以下の5つの場合についてそれぞれ求めよ。 (1) $a \le -2$ (2) $-2 < a < -1$ (3) $a = -1$ (4) $-1 < a < 0$ (5) $a \ge 0$

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + 4ax$ (ただし、$0 \le x \le 2$) の最大値と最小値を、以下の5つの場合についてそれぞれ求めよ。

(1) $a \le -2$

(2) $-2 < a < -1$

(3) $a = -1$

(4) $-1 < a < 0$

(5) $a \ge 0$

2. 解き方の手順

まず、関数 $y$ を平方完成する。

$y = 2x^2 + 4ax = 2(x^2 + 2ax) = 2(x^2 + 2ax + a^2 - a^2) = 2((x+a)^2 - a^2) = 2(x+a)^2 - 2a^2$

したがって、軸は $x = -a$ である。定義域は $0 \le x \le 2$ である。

(1) $a \le -2$ のとき、$-a \ge 2$ なので、軸は定義域の右側にある。よって、$x=0$ で最大値、$x=2$ で最小値をとる。

最大値: $y(0) = 2(0)^2 + 4a(0) = 0$

最小値: $y(2) = 2(2)^2 + 4a(2) = 8 + 8a$

(2) $-2 < a < -1$ のとき、$1 < -a < 2$ なので、軸は定義域の内部にある。よって、$x = 0$ で最大値、$x=-a$ で最小値をとる。

最大値: $y(0) = 0$

最小値: $y(-a) = 2(-a)^2 + 4a(-a) = 2a^2 - 4a^2 = -2a^2$

(3) $a = -1$ のとき、軸は $x = 1$ で、定義域の内部にある。よって、$x=0$ または $x=2$ で最大値、$x=1$ で最小値をとる。

最大値: $y(0) = 0$ と $y(2) = 2(2)^2 + 4(-1)(2) = 8 - 8 = 0$ より、最大値は0。

最小値: $y(1) = 2(1)^2 + 4(-1)(1) = 2 - 4 = -2$

(4) $-1 < a < 0$ のとき、$0 < -a < 1$ なので、軸は定義域の内部にある。よって、$x = 2$ で最大値、$x=-a$ で最小値をとる。

最大値: $y(2) = 8 + 8a$

最小値: $y(-a) = -2a^2$

(5) $a \ge 0$ のとき、$-a \le 0$ なので、軸は定義域の左側にある。よって、$x=2$ で最大値、$x=0$ で最小値をとる。

最大値: $y(2) = 8 + 8a$

最小値: $y(0) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $a \le -2$ のとき、最大値は0、最小値は $8+8a$

(2) $-2 < a < -1$ のとき、最大値は0、最小値は $-2a^2$

(3) $a = -1$ のとき、最大値は0、最小値は $-2$

(4) $-1 < a < 0$ のとき、最大値は $8+8a$、最小値は $-2a^2$

(5) $a \ge 0$ のとき、最大値は $8+8a$、最小値は 0