$n$ が自然数のとき、${}_n C_0 + {}_n C_1 + \dots + {}_n C_n$ を $n$ の簡単な式で表す問題です。

1. 問題の内容

$n$ が自然数のとき、${}_n C_0 + {}_n C_1 + \dots + {}_n C_n$ を $n$ の簡単な式で表す問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を利用します。二項定理は、任意の自然数 $n$ に対して、

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {}_n C_k a^{n-k} b^k = {}_n C_0 a^n + {}_n C_1 a^{n-1} b + \dots + {}_n C_n b^n$

と展開できることを示します。

この式に $a = 1$、 $b = 1$ を代入すると、

$(1+1)^n = {}_n C_0 1^n + {}_n C_1 1^{n-1} 1 + \dots + {}_n C_n 1^n$

$2^n = {}_n C_0 + {}_n C_1 + \dots + {}_n C_n$

したがって、${}_n C_0 + {}_n C_1 + \dots + {}_n C_n = 2^n$ となります。

3. 最終的な答え

$2^n$