$a$ を正の定数とし、$f(x) = x^2 + 2(a-3)x - a^2 + 3a + 5$ とする。2次関数 $y=f(x)$ のグラフの頂点の $x$ 座標を $p$ とする。 (ア) $p$ を $a$ で表す。 (イ) $1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(1)$ となるような $a$ の値の範囲を求める。 (ウ) $1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(p)$ となるような $a$ の値の範囲を求める。 (エ,オ,カ) $1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $0$ となるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とし、$f(x) = x^2 + 2(a-3)x - a^2 + 3a + 5$ とする。2次関数 $y=f(x)$ のグラフの頂点の $x$ 座標を $p$ とする。

(ア) $p$ を $a$ で表す。

(イ) $1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(1)$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

(ウ) $1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(p)$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

(エ,オ,カ) $1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $0$ となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(ア) $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 + 2(a-3)x - a^2 + 3a + 5 = (x + (a-3))^2 - (a-3)^2 - a^2 + 3a + 5$

$f(x) = (x + a - 3)^2 - (a^2 - 6a + 9) - a^2 + 3a + 5 = (x + a - 3)^2 - 2a^2 + 9a - 4$

頂点の $x$ 座標 $p$ は $p = -(a-3) = 3 - a$

よって、アは3

(イ) $1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(1)$ となるのは、頂点の $x$ 座標 $p$ が $p \le 1$ のとき。

$3 - a \le 1$ より $a \ge 2$

よって、イは2

(ウ) $1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(p)$ となるのは、$1 \le p \le 5$ のとき。

$1 \le 3 - a \le 5$ より $-2 \le -a \le 2$ すなわち $-2 \le a \le 2$。

$a > 0$ より $0 < a \le 2$

よって、ウは2

(エ,オ,カ) $1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $0$ となる場合を考える。

最小値が $f(1)$ のとき、$f(1) = 0$ となる $a$ を求める。

$f(1) = 1 + 2(a-3) - a^2 + 3a + 5 = 1 + 2a - 6 - a^2 + 3a + 5 = -a^2 + 5a = 0$

$-a(a - 5) = 0$ より $a = 0$ または $a = 5$。

$a > 0$ かつ $a \ge 2$ より $a = 5$

最小値が $f(p)$ のとき、$f(p) = 0$ となる $a$ を求める。

$f(p) = -2a^2 + 9a - 4 = 0$

$2a^2 - 9a + 4 = 0$

$(2a - 1)(a - 4) = 0$

$a = \frac{1}{2}$ または $a = 4$

$0 < a \le 2$ より $a = \frac{1}{2}$

したがって、$a = \frac{1}{2}$ または $a = 5$

よって、エは1/2、オは5、カは2

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 2

ウ: 2

エ: 1/2

オ: 5

カ: 1

したがって

$p = 3 - a$

$a \ge 2$

$0 < a \le 2$

$a = \frac{1}{2}$ または $a = 5$