$x, y$ は実数であるとする。条件 $p: x = -1$ は条件 $q: xy = -1$ であるための、必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどれでもないかを問う問題。

1. 問題の内容

$x, y$ は実数であるとする。条件 $p: x = -1$ は条件 $q: xy = -1$ であるための、必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどれでもないかを問う問題。

2. 解き方の手順

$p \Rightarrow q$ (pならばq)が成り立つか、つまり、$x = -1$ ならば $xy = -1$ が成り立つかを考える。

$x = -1$ を $xy = -1$ に代入すると、$-y = -1$ となり、$y = 1$ が得られる。

したがって、$x = -1$ であれば、$xy = (-1)y = -1$ となるためには、$y=1$でなければならない。

これは $xy=-1$ の特殊な場合にすぎない。

例えば、$x = -1$、$y = 1$ であれば、$x = -1$ かつ $xy = -1$ は成り立つ。

しかし、xy = -1 であっても、$x=-1$とは限らない。

例えば、$x = 1$、$y = -1$ のとき、$xy = -1$ であるが、$x = -1$ ではない。

したがって、$p \Rightarrow q$ は成り立つとは限らない。

次に、$q \Rightarrow p$ (qならばp)が成り立つか、つまり、$xy = -1$ ならば $x = -1$ が成り立つかを考える。

$xy = -1$ のとき、$x = -1$ が必ず成り立つかというと、そうではない。

例えば、$x = 2$、$y = -\frac{1}{2}$ のとき、$xy = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$ であるが、$x = 2 \neq -1$ である。

したがって、$q \Rightarrow p$ は成り立たない。

$x = -1$ であれば、$xy = -1$となるには、$y=1$に限られるが、

$xy=-1$ であれば、$x=-1$とは限らない。

条件pが条件qであるための必要条件とは、$q \Rightarrow p$ が成り立つこと。

条件pが条件qであるための十分条件とは、$p \Rightarrow q$ が成り立つこと。

$p \Rightarrow q$ が成り立つとは限らず、$q \Rightarrow p$ も成り立たないため、条件pは条件qであるための必要条件でも十分条件でもない。

3. 最終的な答え

④ 必要条件でも十分条件でもない