$n$が自然数のとき、${}_nC_0 + {}_nC_1 + \dots + {}_nC_n$ を$n$の簡単な式で表す問題です。

1. 問題の内容

$n$が自然数のとき、${}_nC_0 + {}_nC_1 + \dots + {}_nC_n$ を$n$の簡単な式で表す問題です。

2. 解き方の手順

二項定理 $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k a^{n-k} b^k$ を利用します。

$a=1$、$b=1$とおくと、

$(1+1)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k 1^{n-k} 1^k$

$2^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k$

したがって、

${}_nC_0 + {}_nC_1 + \dots + {}_nC_n = 2^n$

3. 最終的な答え

$2^n$