与えられた2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 1$ の $-2 \le x < 1$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 1$ の $-2 \le x < 1$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2(x^2 + 2x) + 1$

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -2((x+1)^2 - 1) + 1$

$y = -2(x+1)^2 + 2 + 1$

$y = -2(x+1)^2 + 3$

この平方完成された式から、頂点の座標が $(-1, 3)$ であることがわかります。

また、$x^2$ の係数が負であるため、このグラフは上に凸の放物線です。

次に、定義域 $-2 \le x < 1$ における関数の値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $-1$ で、これは定義域に含まれています。

したがって、$x = -1$ のとき、関数は最大値 $3$ をとります。

次に、$x = -2$ のときの関数の値を計算します。

$y = -2(-2+1)^2 + 3 = -2(-1)^2 + 3 = -2(1) + 3 = 1$

したがって、$x = -2$ のとき、$y = 1$ です。

次に、$x = 1$ に近づくときの関数の値を考えます。

$x = 1$ のとき、$y = -2(1+1)^2 + 3 = -2(2)^2 + 3 = -2(4) + 3 = -8 + 3 = -5$

しかし、$x < 1$ なので、$x = 1$ の値は含みません。したがって、最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

最大値：$3$ ($x=-1$のとき)

最小値：なし