整式 $3x^3 - 2x^2 + 1$ をある整式 $A$ で割ると、商が $x+1$、余りが $x-3$ であるとき、整式 $A$ を求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $3x^3 - 2x^2 + 1$ をある整式 $A$ で割ると、商が $x+1$、余りが $x-3$ であるとき、整式 $A$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

割られる数 = (割る数) × (商) + (余り) という関係が成り立つので、この問題では

$3x^3 - 2x^2 + 1 = A(x+1) + (x-3)$

となります。

まず、この式を $A(x+1)$ について解きます。

$A(x+1) = 3x^3 - 2x^2 + 1 - (x-3)$

$A(x+1) = 3x^3 - 2x^2 + 1 - x + 3$

$A(x+1) = 3x^3 - 2x^2 - x + 4$

したがって、整式 $A$ は $3x^3 - 2x^2 - x + 4$ を $x+1$ で割った商となります。

筆算または組み立て除法を用いて、$3x^3 - 2x^2 - x + 4$ を $x+1$ で割ると、

商は $3x^2 - 5x + 4$ となります。

3. 最終的な答え

$A = 3x^2 - 5x + 4$