与えられた2つの数を解とする二次方程式をそれぞれ求める問題です。 (1) -2, -3 (2) $4+\sqrt{2}, 4-\sqrt{2}$ (3) $2+3i, 2-3i$

1. 問題の内容

与えられた2つの数を解とする二次方程式をそれぞれ求める問題です。

(1) -2, -3

(2) $4+\sqrt{2}, 4-\sqrt{2}$

(3) $2+3i, 2-3i$

2. 解き方の手順

一般に、2つの解 $\alpha, \beta$ を持つ二次方程式は、

$(x-\alpha)(x-\beta)=0$

と表すことができます。展開して整理すると、

$x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0$

となります。つまり、解の和と積を計算すれば、二次方程式を求めることができます。

(1) $\alpha = -2, \beta = -3$ のとき

和: $\alpha+\beta = -2 + (-3) = -5$

積: $\alpha\beta = (-2)(-3) = 6$

よって、二次方程式は $x^2 - (-5)x + 6 = 0$ となり、$x^2 + 5x + 6 = 0$

(2) $\alpha = 4+\sqrt{2}, \beta = 4-\sqrt{2}$ のとき

和: $\alpha+\beta = (4+\sqrt{2}) + (4-\sqrt{2}) = 8$

積: $\alpha\beta = (4+\sqrt{2})(4-\sqrt{2}) = 4^2 - (\sqrt{2})^2 = 16 - 2 = 14$

よって、二次方程式は $x^2 - 8x + 14 = 0$

(3) $\alpha = 2+3i, \beta = 2-3i$ のとき

和: $\alpha+\beta = (2+3i) + (2-3i) = 4$

積: $\alpha\beta = (2+3i)(2-3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 - (9i^2) = 4 - (-9) = 4+9 = 13$

よって、二次方程式は $x^2 - 4x + 13 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 5x + 6 = 0$

(2) $x^2 - 8x + 14 = 0$

(3) $x^2 - 4x + 13 = 0$