問題は、多項式 $P(x)$ が与えられた条件を満たすように、定数 $a$ の値を求める問題です。 (1) 多項式 $P(x) = x^3 - ax - 2$ が $x - 2$ で割り切れる。 (2) 多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 + 3x + 1$ を $x - 3$ で割ると $1$ 余る。 (3) 多項式 $P(x) = x^4 + 5x^2 + a^2 x + 2a$ を $x + 1$ で割ると $3$ 余る。

1. 問題の内容

問題は、多項式 $P(x)$ が与えられた条件を満たすように、定数 $a$ の値を求める問題です。

(1) 多項式 $P(x) = x^3 - ax - 2$ が $x - 2$ で割り切れる。

(2) 多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 + 3x + 1$ を $x - 3$ で割ると $1$ 余る。

(3) 多項式 $P(x) = x^4 + 5x^2 + a^2 x + 2a$ を $x + 1$ で割ると $3$ 余る。

2. 解き方の手順

(1) $P(x) = x^3 - ax - 2$ が $x - 2$ で割り切れるとき、剰余の定理より $P(2) = 0$ が成り立つ。

よって、

$P(2) = 2^3 - a(2) - 2 = 8 - 2a - 2 = 6 - 2a = 0$

(2) $P(x) = x^3 + ax^2 + 3x + 1$ を $x - 3$ で割ると $1$ 余るので、剰余の定理より $P(3) = 1$ が成り立つ。

よって、

$P(3) = 3^3 + a(3^2) + 3(3) + 1 = 27 + 9a + 9 + 1 = 37 + 9a = 1$

(3) $P(x) = x^4 + 5x^2 + a^2 x + 2a$ を $x + 1$ で割ると $3$ 余るので、剰余の定理より $P(-1) = 3$ が成り立つ。

よって、

$P(-1) = (-1)^4 + 5(-1)^2 + a^2(-1) + 2a = 1 + 5 - a^2 + 2a = 6 - a^2 + 2a = 3$

(1) の場合:

$6 - 2a = 0$

$2a = 6$

$a = 3$

(2) の場合:

$37 + 9a = 1$

$9a = -36$

$a = -4$

(3) の場合:

$6 - a^2 + 2a = 3$

$a^2 - 2a - 3 = 0$

$(a - 3)(a + 1) = 0$

$a = 3, -1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$

(2) $a = -4$

(3) $a = 3, -1$