与えられた3つの方程式を解く問題です。 (1) $x^3 - 27 = 0$ (2) $x^3 + 8 = 0$ (3) $x^3 = 64$

1. 問題の内容

与えられた3つの方程式を解く問題です。

(1) $x^3 - 27 = 0$

(2) $x^3 + 8 = 0$

(3) $x^3 = 64$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 27 = 0$ は $x^3 = 27$ と変形できます。$27 = 3^3$ なので、$x^3 = 3^3$ となり、$x = 3$ は実数解の一つです。

$x^3 - 27$ を因数分解すると、

$x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2 + 3x + 9) = 0$

$x = 3$ または $x^2 + 3x + 9 = 0$ となります。

$x^2 + 3x + 9 = 0$ を解の公式で解くと、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$

したがって、解は $x = 3, \frac{-3 + 3\sqrt{3}i}{2}, \frac{-3 - 3\sqrt{3}i}{2}$ となります。

(2) $x^3 + 8 = 0$ は $x^3 = -8$ と変形できます。$-8 = (-2)^3$ なので、$x^3 = (-2)^3$ となり、$x = -2$ は実数解の一つです。

$x^3 + 8$ を因数分解すると、

$x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0$

$x = -2$ または $x^2 - 2x + 4 = 0$ となります。

$x^2 - 2x + 4 = 0$ を解の公式で解くと、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$

したがって、解は $x = -2, 1 + \sqrt{3}i, 1 - \sqrt{3}i$ となります。

(3) $x^3 = 64$ は $x^3 - 64 = 0$ と変形できます。$64 = 4^3$ なので、$x^3 = 4^3$ となり、$x = 4$ は実数解の一つです。

$x^3 - 64$ を因数分解すると、

$x^3 - 4^3 = (x-4)(x^2 + 4x + 16) = 0$

$x = 4$ または $x^2 + 4x + 16 = 0$ となります。

$x^2 + 4x + 16 = 0$ を解の公式で解くと、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-48}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{3}i}{2} = -2 \pm 2\sqrt{3}i$

したがって、解は $x = 4, -2 + 2\sqrt{3}i, -2 - 2\sqrt{3}i$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 3, \frac{-3 + 3\sqrt{3}i}{2}, \frac{-3 - 3\sqrt{3}i}{2}$

(2) $x = -2, 1 + \sqrt{3}i, 1 - \sqrt{3}i$

(3) $x = 4, -2 + 2\sqrt{3}i, -2 - 2\sqrt{3}i$