$(2x - 3)^4$ を展開したときの $x^3$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(2x - 3)^4$ を展開したときの $x^3$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いる。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

この問題では、$a = 2x$, $b = -3$, $n = 4$である。$x^3$の係数を求めたいので、$n-k = 3$となる$k$の値を探す。$4 - k = 3$より、$k = 1$である。

したがって、$x^3$の項は

$\binom{4}{1} (2x)^{4-1} (-3)^1 = \binom{4}{1} (2x)^3 (-3)^1 = 4 \cdot 8x^3 \cdot (-3) = -96x^3$

$x^3$の係数は-96である。

3. 最終的な答え

-96