与えられた式 $(a+3b)^2(a-3b)^2$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+3b)^2(a-3b)^2$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+3b)(a-3b)$ を計算します。これは和と差の積の公式 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ を利用できます。

$A = a$、 $B = 3b$ とすると、

$(a+3b)(a-3b) = a^2 - (3b)^2 = a^2 - 9b^2$

したがって、与えられた式は

$(a+3b)^2(a-3b)^2 = [(a+3b)(a-3b)]^2$

と変形できます。先ほどの結果を用いると、

$[(a+3b)(a-3b)]^2 = (a^2 - 9b^2)^2$

さらに、$(a^2 - 9b^2)^2$ を展開します。これは $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ の公式を利用できます。

$A = a^2$、 $B = 9b^2$ とすると、

$(a^2 - 9b^2)^2 = (a^2)^2 - 2(a^2)(9b^2) + (9b^2)^2$

$= a^4 - 18a^2b^2 + 81b^4$

3. 最終的な答え

$a^4 - 18a^2b^2 + 81b^4$