連立不等式 $\begin{cases} 5x - 8 > 2x + 1 \\ x + 3 \geq 3x - a \end{cases}$ を満たす整数 $x$ がちょうど4個存在するような定数 $a$ のとりうる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

連立不等式

$\begin{cases}

5x - 8 > 2x + 1 \\

x + 3 \geq 3x - a

\end{cases}$

を満たす整数 $x$ がちょうど4個存在するような定数 $a$ のとりうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

1つ目の不等式：

$5x - 8 > 2x + 1$

$3x > 9$

$x > 3$

2つ目の不等式：

$x + 3 \geq 3x - a$

$a + 3 \geq 2x$

$x \leq \frac{a+3}{2}$

したがって、連立不等式の解は

$3 < x \leq \frac{a+3}{2}$

となります。

この範囲に整数 $x$ がちょうど4個存在するということは、$x = 4, 5, 6, 7$ がこの範囲に含まれ、$x = 8$ は含まれないということになります。

つまり、

$7 \leq \frac{a+3}{2} < 8$

という条件を満たす必要があります。

この不等式を解きます。

$7 \leq \frac{a+3}{2} < 8$

$14 \leq a + 3 < 16$

$11 \leq a < 13$

3. 最終的な答え

$11 \leq a < 13$