放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を、$x$軸方向に平行移動して原点を通るようにした放物線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を、$x$軸方向に平行移動して原点を通るようにした放物線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線の方程式を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 3 = (x-2)^2 - 4 + 3 = (x-2)^2 - 1$

これにより、元の放物線の頂点は $(2, -1)$ であることがわかります。

$x$軸方向に$p$だけ平行移動した後の放物線の方程式は、

$y = (x-p-2)^2 - 1$

この放物線が原点$(0,0)$を通るので、$x=0$, $y=0$を代入すると、

$0 = (0-p-2)^2 - 1$

$0 = (-p-2)^2 - 1$

$(p+2)^2 = 1$

$p+2 = \pm 1$

したがって、$p+2 = 1$ または $p+2 = -1$ となります。

$p+2 = 1$ のとき、$p = -1$

$p+2 = -1$ のとき、$p = -3$

$p = -1$ のとき、放物線の方程式は

$y = (x-(-1)-2)^2 - 1 = (x-1)^2 - 1 = x^2 - 2x + 1 - 1 = x^2 - 2x$

$p = -3$ のとき、放物線の方程式は

$y = (x-(-3)-2)^2 - 1 = (x+1)^2 - 1 = x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 + 2x$

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 2x$

または

$y = x^2 + 2x$