多項定理を用いて、$(x + y + z)^5$ を展開したとき、$x^2yz^2$ の項の係数を求めます。

1. 問題の内容

多項定理を用いて、$(x + y + z)^5$ を展開したとき、$x^2yz^2$ の項の係数を求めます。

2. 解き方の手順

多項定理は、$(x_1 + x_2 + \dots + x_m)^n$ の展開において、$x_1^{k_1} x_2^{k_2} \dots x_m^{k_m}$ の項の係数が

$\frac{n!}{k_1! k_2! \dots k_m!}$

で与えられるという定理です。ただし、$k_1 + k_2 + \dots + k_m = n$ を満たす必要があります。

この問題では、$(x + y + z)^5$ を展開したときの $x^2yz^2$ の項の係数を求めます。

$x, y, z$ の指数はそれぞれ $2, 1, 2$ であり、それらの合計は $2 + 1 + 2 = 5$ となり、これは展開の次数に一致します。

したがって、多項定理を適用することができます。

$x^2yz^2$ の項の係数は、

$\frac{5!}{2! 1! 2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (1) \times (2 \times 1)} = \frac{120}{4} = 30$

となります。

3. 最終的な答え

$x^2yz^2$ の項の係数は30です。