与えられた式 $x^6 + 7x^3 - 8$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^6 + 7x^3 - 8$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = y$ と置換します。すると、与えられた式は

$y^2 + 7y - 8$

となります。

この二次式を因数分解します。

和が7、積が-8となる2つの数は8と-1なので、

$y^2 + 7y - 8 = (y + 8)(y - 1)$

となります。

ここで、$y = x^3$ を代入すると、

$(x^3 + 8)(x^3 - 1)$

となります。

$x^3 + 8$ は $x^3 + 2^3$ と表せるので、和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いると、

$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

となります。

また、$x^3 - 1$ は $x^3 - 1^3$ と表せるので、差の3乗の公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を用いると、

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

となります。

したがって、

$(x^3 + 8)(x^3 - 1) = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x - 1)(x^2 + x + 1)$

となります。

3. 最終的な答え

$(x+2)(x-1)(x^2-2x+4)(x^2+x+1)$