クラメルの公式を用いて、以下の連立一次方程式を解きます。 (1) $ \begin{cases} -x + y - z = 1 \\ 2x - y + 3z = -2 \\ -x + 5y + z = 3 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} 3x + 5y - 2z = 1 \\ 4x - 6y + 7z = -1 \\ 5x + 8y - 3z = 2 \end{cases} $

1. 問題の内容

クラメルの公式を用いて、以下の連立一次方程式を解きます。

(1)

$$

\begin{cases}

-x + y - z = 1 \\

2x - y + 3z = -2 \\

-x + 5y + z = 3

\end{cases}

$$

(2)

$$

\begin{cases}

3x + 5y - 2z = 1 \\

4x - 6y + 7z = -1 \\

5x + 8y - 3z = 2

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(1)

まず、係数行列の行列式 $D$ を計算します。

$$

D = \begin{vmatrix}

-1 & 1 & -1 \\

2 & -1 & 3 \\

-1 & 5 & 1

\end{vmatrix} = -1(-1 - 15) - 1(2 + 3) - 1(10 - 1) = 16 - 5 - 9 = 2

$$

次に、$D_x$, $D_y$, $D_z$ を計算します。

$$

D_x = \begin{vmatrix}

1 & 1 & -1 \\

-2 & -1 & 3 \\

3 & 5 & 1

\end{vmatrix} = 1(-1 - 15) - 1(-2 - 9) - 1(-10 + 3) = -16 + 11 + 7 = 2

$$

$$

D_y = \begin{vmatrix}

-1 & 1 & -1 \\

2 & -2 & 3 \\

-1 & 3 & 1

\end{vmatrix} = -1(-2 - 9) - 1(2 + 3) - 1(6 - 2) = 11 - 5 - 4 = 2

$$

$$

D_z = \begin{vmatrix}

-1 & 1 & 1 \\

2 & -1 & -2 \\

-1 & 5 & 3

\end{vmatrix} = -1(-3 + 10) - 1(6 - 2) + 1(10 - 1) = -7 - 4 + 9 = -2

$$

クラメルの公式より、

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{2}{2} = 1$,

$y = \frac{D_y}{D} = \frac{2}{2} = 1$,

$z = \frac{D_z}{D} = \frac{-2}{2} = -1$.

(2)

まず、係数行列の行列式 $D$ を計算します。

$$

D = \begin{vmatrix}

3 & 5 & -2 \\

4 & -6 & 7 \\

5 & 8 & -3

\end{vmatrix} = 3(18 - 56) - 5(-12 - 35) - 2(32 + 30) = 3(-38) - 5(-47) - 2(62) = -114 + 235 - 124 = -3

$$

次に、$D_x$, $D_y$, $D_z$ を計算します。

$$

D_x = \begin{vmatrix}

1 & 5 & -2 \\

-1 & -6 & 7 \\

2 & 8 & -3

\end{vmatrix} = 1(18 - 56) - 5(3 - 14) - 2(-8 + 12) = -38 - 5(-11) - 2(4) = -38 + 55 - 8 = 9

$$

$$

D_y = \begin{vmatrix}

3 & 1 & -2 \\

4 & -1 & 7 \\

5 & 2 & -3

\end{vmatrix} = 3(3 - 14) - 1(-12 - 35) - 2(8 + 5) = 3(-11) - (-47) - 2(13) = -33 + 47 - 26 = -12

$$

$$

D_z = \begin{vmatrix}

3 & 5 & 1 \\

4 & -6 & -1 \\

5 & 8 & 2

\end{vmatrix} = 3(-12 + 8) - 5(8 + 5) + 1(32 + 30) = 3(-4) - 5(13) + 62 = -12 - 65 + 62 = -15

$$

クラメルの公式より、

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{9}{-3} = -3$,

$y = \frac{D_y}{D} = \frac{-12}{-3} = 4$,

$z = \frac{D_z}{D} = \frac{-15}{-3} = 5$.

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, y = 1, z = -1$

(2) $x = -3, y = 4, z = 5$