2つの数$\alpha$と$\beta$について、$\alpha + \beta = 4$, $\alpha \beta = -2$ が成り立つとき、$\frac{1}{\alpha}$と$\frac{1}{\beta}$を解とする、$x^2$の係数が1の2次方程式を求めなさい。

1. 問題の内容

2つの数$\alpha$と$\beta$について、$\alpha + \beta = 4$, $\alpha \beta = -2$ が成り立つとき、$\frac{1}{\alpha}$と$\frac{1}{\beta}$を解とする、$x^2$の係数が1の2次方程式を求めなさい。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\alpha}$と$\frac{1}{\beta}$を解とする2次方程式は、解と係数の関係から、

$x^2 - (\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta})x + \frac{1}{\alpha} \frac{1}{\beta} = 0$

と表せる。

ここで、

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$

であり、問題文より$\alpha + \beta = 4$, $\alpha \beta = -2$であるから、

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{4}{-2} = -2$

また、

$\frac{1}{\alpha} \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha \beta} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

よって、求める2次方程式は

$x^2 - (-2)x + (-\frac{1}{2}) = 0$

$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$