与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。4つの等式について、それぞれ $a, b, c$ の値を決定します。

1. 問題の内容

与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。4つの等式について、それぞれ $a, b, c$ の値を決定します。

2. 解き方の手順

(1) $x - 4 = (a - b)x - 3a$

恒等式であるためには、両辺の $x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。

$x$ の係数を比較すると $1 = a - b$。

定数項を比較すると $-4 = -3a$。

これから $a = \frac{4}{3}$。

$b = a - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$。

(2) $\frac{3x + 3}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{a}{x + 2} + \frac{b}{x - 1}$

右辺を通分すると

$\frac{a(x - 1) + b(x + 2)}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{(a + b)x + (-a + 2b)}{(x + 2)(x - 1)}$

分子を比較すると $3x + 3 = (a + b)x + (-a + 2b)$。

$x$ の係数を比較すると $3 = a + b$。

定数項を比較すると $3 = -a + 2b$。

これらを連立して解くと、

$a + b = 3$

$-a + 2b = 3$

2つの式を足し合わせると $3b = 6$ より $b = 2$。

$a = 3 - b = 3 - 2 = 1$。

(3) $x^2 + 2x + 1 = a(x - 1)^2 + b(x - 1) + c$

右辺を展開すると

$a(x^2 - 2x + 1) + b(x - 1) + c = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c = ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c)$

両辺の係数を比較すると

$x^2$ の係数：$1 = a$

$x$ の係数：$2 = -2a + b$

定数項：$1 = a - b + c$

$a = 1$

$b = 2 + 2a = 2 + 2(1) = 4$

$c = 1 - a + b = 1 - 1 + 4 = 4$

(4) $2x^3 - 8x^2 + 5x + 13 = a(x + 2)^3 - (3 - b)x^2 - cx - a + c - 20$

右辺を展開すると

$a(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - (3 - b)x^2 - cx - a + c - 20 = ax^3 + (6a - 3 + b)x^2 + (12a - c)x + (8a - a + c - 20) = ax^3 + (6a - 3 + b)x^2 + (12a - c)x + (7a + c - 20)$

各係数を比較すると

$x^3$ の係数：$2 = a$

$x^2$ の係数：$-8 = 6a - 3 + b$

$x$ の係数：$5 = 12a - c$

定数項：$13 = 7a + c - 20$

$a = 2$

$b = -8 - 6a + 3 = -8 - 6(2) + 3 = -8 - 12 + 3 = -17$

$c = 12a - 5 = 12(2) - 5 = 24 - 5 = 19$

$13 = 7a + c - 20 = 7(2) + 19 - 20 = 14 + 19 - 20 = 13$ (整合性確認)

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{4}{3}, b = \frac{1}{3}$

(2) $a = 1, b = 2$

(3) $a = 1, b = 4, c = 4$

(4) $a = 2, b = -17, c = 19$