与えられた条件が、別の条件であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、または必要条件でも十分条件でもない、のうちどれに当てはまるかを判断する問題です。今回は (4) の問題を解きます。 問題: 実数 $x, y, z$ について、$x^2 + y^2 + z^2 = 0$ は、$x + y + z = 0$ であるための何条件か。

1. 問題の内容

与えられた条件が、別の条件であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、または必要条件でも十分条件でもない、のうちどれに当てはまるかを判断する問題です。今回は (4) の問題を解きます。

問題: 実数 $x, y, z$ について、$x^2 + y^2 + z^2 = 0$ は、$x + y + z = 0$ であるための何条件か。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + y^2 + z^2 = 0$ が成り立つ条件を考えます。$x, y, z$ は実数なので、$x^2 \ge 0$, $y^2 \ge 0$, $z^2 \ge 0$ です。したがって、$x^2 + y^2 + z^2 = 0$ となるのは、$x^2 = 0$, $y^2 = 0$, $z^2 = 0$ が同時に成り立つとき、つまり、$x = 0$, $y = 0$, $z = 0$ のときのみです。

次に、$x + y + z = 0$ が成り立つ条件を考えます。これは、$x = 0$, $y = 0$, $z = 0$ のときだけでなく、$x = 1, y = -1, z = 0$ のように、$x + y + z = 0$ を満たす様々な組み合わせが存在します。

ここで、

- $x^2 + y^2 + z^2 = 0$ ならば $x + y + z = 0$ が成り立つか (十分条件か) を考えます。$x^2 + y^2 + z^2 = 0$ は $x = 0, y = 0, z = 0$ を意味するため、$x + y + z = 0 + 0 + 0 = 0$ が成り立ちます。よって、十分条件です。

- $x + y + z = 0$ ならば $x^2 + y^2 + z^2 = 0$ が成り立つか (必要条件か) を考えます。$x + y + z = 0$ は、$x = 1, y = -1, z = 0$ のような例で示すように、$x^2 + y^2 + z^2 = 1^2 + (-1)^2 + 0^2 = 2 \neq 0$ となる場合が存在します。よって、必要条件ではありません。

したがって、$x^2 + y^2 + z^2 = 0$ は、$x + y + z = 0$ であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

3. 最終的な答え

十分条件である