不等式 $2x + a > 5(x - 1)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x = 4$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $2x + a > 5(x - 1)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x = 4$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式を $x$ について解く。

$2x + a > 5(x - 1)$

$2x + a > 5x - 5$

$a + 5 > 3x$

$x < \frac{a + 5}{3}$

不等式を満たす最大の整数が $4$ であるということは、

$4 < \frac{a + 5}{3} \leq 5$ が成り立つ必要がある。

$\frac{a + 5}{3}$ は 4 より大きく、5 以下である。もし $\frac{a+5}{3}$ がちょうど 4 であれば、不等式 $x < \frac{a+5}{3}$ を満たす最大の整数は 3 になってしまう。$\frac{a+5}{3}$ が 5 より大きければ、不等式を満たす最大の整数は 5 以上になってしまう。

それぞれの不等式を解く。

$4 < \frac{a + 5}{3}$

$12 < a + 5$

$7 < a$

$\frac{a + 5}{3} \leq 5$

$a + 5 \leq 15$

$a \leq 10$

したがって、$7 < a \leq 10$ である。

3. 最終的な答え

$7 < a \leq 10$