(1) 恒等式 $\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1})$ を利用して、次の和 $S$ を求めよ。 $S = \frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$ の分母を有理化せよ。また、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$ を求めよ。 (3) 次の数列の第 $n$ 項 $a_n$ を求めよ。また、初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。 1, 1+5, 1+5+9, 1+5+9+13, ... (4) 次の数列の第 $n$ 項 $a_n$ を求めよ。また、初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。 1, $\frac{1}{1+2}$, $\frac{1}{1+2+3}$, $\frac{1}{1+2+3+4+\dots+n}$ (5) 次の和 $S$ を求めよ。 $S = 1\cdot1 + 2\cdot4 + 3\cdot4^2 + \dots + n\cdot4^{n-1}$

1. 問題の内容

(1) 恒等式 $\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1})$ を利用して、次の和 $S$ を求めよ。

$S = \frac{1}{1\cdot4} + \frac{1}{4\cdot7} + \frac{1}{7\cdot10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$ の分母を有理化せよ。また、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$ を求めよ。

(3) 次の数列の第 $n$ 項 $a_n$ を求めよ。また、初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

1, 1+5, 1+5+9, 1+5+9+13, ...

(4) 次の数列の第 $n$ 項 $a_n$ を求めよ。また、初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

1, $\frac{1}{1+2}$, $\frac{1}{1+2+3}$, $\frac{1}{1+2+3+4+\dots+n}$

(5) 次の和 $S$ を求めよ。

$S = 1\cdot1 + 2\cdot4 + 3\cdot4^2 + \dots + n\cdot4^{n-1}$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた恒等式を用いる。

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3} (\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1}) = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1})$

$=\frac{1}{3} [(\frac{1}{1} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{10}) + \dots + (\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1})]$

$=\frac{1}{3} (1 - \frac{1}{3n+1}) = \frac{1}{3} (\frac{3n+1-1}{3n+1}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3n}{3n+1} = \frac{n}{3n+1}$

(2)

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{(\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3})(\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3})} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{(k+2) - (k+3)} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{-1} = \sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}) = (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + \dots + (\sqrt{n+3} - \sqrt{n+2}) = \sqrt{n+3} - \sqrt{3}$

(3)

数列は階差数列である。

$a_1 = 1$

$a_2 = 1+5$

$a_3 = 1+5+9$

$a_4 = 1+5+9+13$

...

$a_n = 1 + 5 + 9 + ... + (4n-3)$

これは初項1, 公差4, 項数nの等差数列の和であるから、

$a_n = \frac{n}{2}(2\cdot1 + (n-1)4) = \frac{n}{2}(2 + 4n - 4) = \frac{n}{2}(4n-2) = n(2n-1) = 2n^2 - n$

$\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{6}(2(2n+1) - 3) = \frac{n(n+1)}{6}(4n+2-3) = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

(4)

数列の一般項は

$a_n = \frac{1}{1+2+3+...+n} = \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2}{n(n+1)} = 2(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

$\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} 2(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = 2 \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = 2[(1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})] = 2(1-\frac{1}{n+1}) = 2(\frac{n+1-1}{n+1}) = \frac{2n}{n+1}$

(5)

$S = 1\cdot1 + 2\cdot4 + 3\cdot4^2 + \dots + n\cdot4^{n-1}$

$4S = 1\cdot4 + 2\cdot4^2 + 3\cdot4^3 + \dots + n\cdot4^{n}$

$S - 4S = 1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1} - n4^n$

$-3S = \frac{1(4^n-1)}{4-1} - n4^n = \frac{4^n-1}{3} - n4^n = \frac{4^n - 1 - 3n4^n}{3}$

$S = \frac{3n4^n - 4^n + 1}{9} = \frac{(3n-1)4^n + 1}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n}{3n+1}$

(2) $\sqrt{n+3} - \sqrt{3}$

(3) $a_n = 2n^2 - n$, $\sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

(4) $a_n = \frac{2}{n(n+1)}$, $\sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{2n}{n+1}$

(5) $S = \frac{(3n-1)4^n + 1}{9}$