直線 $y = ax$ (ここで $a$ は実数) に関する折り返し（鏡映）を表す行列を、$a$ を用いて表す問題です。 ヒントとして、$\tan \varphi = a$ のとき、$\cos 2\varphi$ と $\sin 2\varphi$ を $a$ で表すように指示されています。

1. 問題の内容

直線 $y = ax$ (ここで $a$ は実数) に関する折り返し（鏡映）を表す行列を、$a$ を用いて表す問題です。

ヒントとして、$\tan \varphi = a$ のとき、$\cos 2\varphi$ と $\sin 2\varphi$ を $a$ で表すように指示されています。

2. 解き方の手順

まず、直線 $y = ax$ は原点を通る直線であり、その傾きは $a$ です。この直線と $x$ 軸とのなす角を $\varphi$ とすると、$\tan \varphi = a$ が成り立ちます。

鏡映変換を表す行列は、鏡映軸と $x$ 軸のなす角を $\varphi$ とすると、次のようになります。

$$

\begin{pmatrix}

\cos 2\varphi & \sin 2\varphi \\

\sin 2\varphi & -\cos 2\varphi

\end{pmatrix}

$$

ここで、$\cos 2\varphi$ と $\sin 2\varphi$ を $a$ で表す必要があります。

$\tan \varphi = a$ なので、$\cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$ および $\sin \varphi = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$ となります。

倍角の公式を用いると、

$\cos 2\varphi = \cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi = \frac{1}{1 + a^2} - \frac{a^2}{1 + a^2} = \frac{1 - a^2}{1 + a^2}$

$\sin 2\varphi = 2 \sin \varphi \cos \varphi = 2 \cdot \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} = \frac{2a}{1 + a^2}$

したがって、鏡映変換を表す行列は、

$$

\begin{pmatrix}

\frac{1 - a^2}{1 + a^2} & \frac{2a}{1 + a^2} \\

\frac{2a}{1 + a^2} & -\frac{1 - a^2}{1 + a^2}

\end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

直線 $y = ax$ に関する鏡映変換を表す行列は、

$$

\begin{pmatrix}

\frac{1 - a^2}{1 + a^2} & \frac{2a}{1 + a^2} \\

\frac{2a}{1 + a^2} & \frac{a^2 - 1}{1 + a^2}

\end{pmatrix}

$$