数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^3 + 2$ で表されるとき、以下の問いに答えます。 (1) 初項 $a_1$ を求めます。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^3 + 2$ で表されるとき、以下の問いに答えます。

(1) 初項 $a_1$ を求めます。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 初項 $a_1$ は、 $S_1$ に等しいので、$n = 1$ を $S_n$ の式に代入します。

$a_1 = S_1 = 1^3 + 2 = 1 + 2 = 3$

(2) 一般項 $a_n$ は、$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ で求められます。

$S_n = n^3 + 2$

$S_{n-1} = (n-1)^3 + 2 = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + 2 = n^3 - 3n^2 + 3n + 1$

よって、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^3 + 2) - (n^3 - 3n^2 + 3n + 1) = n^3 + 2 - n^3 + 3n^2 - 3n - 1 = 3n^2 - 3n + 1$

これは $n \geq 2$ のとき成り立つ式です。

$n = 1$ のとき、$a_1 = 3(1)^2 - 3(1) + 1 = 3 - 3 + 1 = 1$ となります。

(1)で求めた $a_1 = 3$ と一致しません。

したがって、 $n = 1$ のときは $a_1 = 3$ であり、$n \geq 2$ のときは $a_n = 3n^2 - 3n + 1$ であると場合分けして答えるか、

もしくは、$a_1=3$、$a_n = 3n^2 - 3n + 1$ ($n \ge 2$)のように明記する必要があります。

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 3$

(2) $a_n = 3n^2 - 3n + 1$ ($n \geq 2$ のとき)

または

$a_1 = 3, a_n = 3n^2 - 3n + 1$ ($n \geq 2$)

もしくは以下のように場合分けして記載

$a_n = \begin{cases} 3 & (n = 1) \\ 3n^2 - 3n + 1 & (n \geq 2) \end{cases}$

ここでは、簡単のために

$a_n = 3n^2 - 3n + 1$ ($n \geq 2$ のとき)

と記載します。