2種類の記号、○と●を用いて記号列を作る。 (1) 記号を4個並べるとき、何通りの記号列ができるか。 (2) 記号を1個以上4個以下並べるとき、何通りの記号列ができるか。 100通りの記号列を作るためには、最小で何個の記号を並べる必要があるか。

1. 問題の内容

2種類の記号、○と●を用いて記号列を作る。

(1) 記号を4個並べるとき、何通りの記号列ができるか。

(2) 記号を1個以上4個以下並べるとき、何通りの記号列ができるか。

100通りの記号列を作るためには、最小で何個の記号を並べる必要があるか。

2. 解き方の手順

(1) 4個の記号を並べる場合、各位置に○または●の2通りが考えられるため、全部で $2^4$ 通りの記号列ができる。

(2) 1個以上4個以下の記号を並べる場合、1個、2個、3個、4個の場合の数をそれぞれ計算し、足し合わせる。

- 1個の場合：$2^1 = 2$ 通り

- 2個の場合：$2^2 = 4$ 通り

- 3個の場合：$2^3 = 8$ 通り

- 4個の場合：$2^4 = 16$ 通り

よって、合計は $2 + 4 + 8 + 16 = 30$ 通りとなる。

3. $n$個の記号を並べる場合の数を$S_n$とすると、$S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^k$となる。この数列の和が100を超える最小の$n$を求める。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^k = 2 \frac{2^n - 1}{2-1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$

$2^{n+1} - 2 \ge 100$

$2^{n+1} \ge 102$

$n+1 \ge \log_2{102}$

$2^6 = 64$、 $2^7 = 128$ なので、$n+1 \ge 7$。

したがって、$n \ge 6$

3. 最終的な答え

(1) 16通り

(2) 30通り

6個