放物線 $y = x^2 - 1$ と直線 $y = ax + a - 3$ が異なる2点A, Bで交わっている。 (1) $a$ の取り得る値の範囲を求めよ。 (2) 線分ABの中点をMとする。$a$ が(1)で求めた範囲を動くとき、点Mの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 1$ と直線 $y = ax + a - 3$ が異なる2点A, Bで交わっている。

(1) $a$ の取り得る値の範囲を求めよ。

(2) 線分ABの中点をMとする。$a$ が(1)で求めた範囲を動くとき、点Mの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 放物線と直線の交点のx座標は、$x^2 - 1 = ax + a - 3$ を満たす。

これを整理すると、$x^2 - ax - a + 2 = 0$ となる。

放物線と直線が異なる2点で交わるためには、この2次方程式が異なる2つの実数解を持たなければならない。

判別式を $D$ とすると、$D > 0$ である必要がある。

$D = (-a)^2 - 4(1)(-a + 2) = a^2 + 4a - 8 > 0$

この不等式を解くために、$a^2 + 4a - 8 = 0$ の解を求める。

$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(-8)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{3}$

したがって、$a < -2 - 2\sqrt{3}$ または $a > -2 + 2\sqrt{3}$

(2) 2点A, Bのx座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ とすると、$\alpha, \beta$ は $x^2 - ax - a + 2 = 0$ の解である。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = a$ である。

中点Mのx座標を $x$ とすると、$x = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{a}{2}$ より、$a = 2x$ である。

また、点Mのy座標を $y$ とすると、点Mは直線 $y = ax + a - 3$ 上にあるので、$y = a \frac{\alpha + \beta}{2} + a - 3 = a x + a - 3$ である。

$a = 2x$ を代入すると、$y = (2x)x + (2x) - 3 = 2x^2 + 2x - 3$

$a < -2 - 2\sqrt{3}$ または $a > -2 + 2\sqrt{3}$ より、$2x < -2 - 2\sqrt{3}$ または $2x > -2 + 2\sqrt{3}$ となる。

したがって、$x < -1 - \sqrt{3}$ または $x > -1 + \sqrt{3}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a < -2 - 2\sqrt{3}$ または $a > -2 + 2\sqrt{3}$

(2) $y = 2x^2 + 2x - 3$ ($x < -1 - \sqrt{3}$ または $x > -1 + \sqrt{3}$)