$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$、$b = |2\sqrt{2}-3|$ が与えられている。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a+b$ の値を求めよ。また、$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$、$b = |2\sqrt{2}-3|$ が与えられている。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a+b$ の値を求めよ。また、$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。分母と分子に $\sqrt{2}+1$ をかける。

$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2-1} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $b$ の絶対値を計算する。$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ であり、$\sqrt{8} > \sqrt{9} = 3$ ではないので、$2\sqrt{2}-3 < 0$である。

したがって、$b = |2\sqrt{2}-3| = -(2\sqrt{2}-3) = 3 - 2\sqrt{2}$

$a+b$ を計算する。

$a+b = (3+2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2}) = 6$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ を計算する。

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b = a+b + 2\sqrt{ab}$

$ab = (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 9 - 8 = 1$

$\sqrt{ab} = \sqrt{1} = 1$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b + 2\sqrt{ab} = 6 + 2(1) = 8$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $a+b = 6$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = 8$