与えられた数学の問題を解き、各問題の空欄を埋める問題です。問題は以下の通りです。 (1) $(2x+3y)(3x-2y) - (2x-3y)(3x+2y)$ を展開し、整理する。 (2) $15a^2 - 11a - 14$ を因数分解する。 (3) $(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + 1)^2$ を簡単にする。 (4) 連立不等式 $\begin{cases} \frac{x}{3} + 1 \le \frac{x}{6} + 2 \\ \frac{x-1}{3} - \frac{x+1}{2} < 1 \end{cases}$ を解く。 (5) 方程式 $|2-5x| = 1$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解き、各問題の空欄を埋める問題です。問題は以下の通りです。

(1) $(2x+3y)(3x-2y) - (2x-3y)(3x+2y)$ を展開し、整理する。

(2) $15a^2 - 11a - 14$ を因数分解する。

(3) $(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + 1)^2$ を簡単にする。

(4) 連立不等式 $\begin{cases} \frac{x}{3} + 1 \le \frac{x}{6} + 2 \\ \frac{x-1}{3} - \frac{x+1}{2} < 1 \end{cases}$ を解く。

(5) 方程式 $|2-5x| = 1$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

まず、それぞれの積を展開します。

$(2x+3y)(3x-2y) = 6x^2 - 4xy + 9xy - 6y^2 = 6x^2 + 5xy - 6y^2$

$(2x-3y)(3x+2y) = 6x^2 + 4xy - 9xy - 6y^2 = 6x^2 - 5xy - 6y^2$

したがって、

$(2x+3y)(3x-2y) - (2x-3y)(3x+2y) = (6x^2 + 5xy - 6y^2) - (6x^2 - 5xy - 6y^2) = 6x^2 + 5xy - 6y^2 - 6x^2 + 5xy + 6y^2 = 10xy$

(2)

$15a^2 - 11a - 14$ を因数分解します。

$15a^2 - 11a - 14 = (3a+2)(5a-7)$

(3)

$(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + 1)^2$ を簡単にする。

$(\sqrt{3}-1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$

$(\sqrt{3}+1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$

$(\sqrt{6} + \sqrt{2})(4 - 2\sqrt{3}) + (\sqrt{6} - \sqrt{2})(4 + 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{6} - 2\sqrt{18} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} + 2\sqrt{18} - 4\sqrt{2} - 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} - 6\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} + 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} - 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$

(4)

連立不等式 $\begin{cases} \frac{x}{3} + 1 \le \frac{x}{6} + 2 \\ \frac{x-1}{3} - \frac{x+1}{2} < 1 \end{cases}$ を解く。

$\frac{x}{3} + 1 \le \frac{x}{6} + 2 \implies 2x + 6 \le x + 12 \implies x \le 6$

$\frac{x-1}{3} - \frac{x+1}{2} < 1 \implies 2(x-1) - 3(x+1) < 6 \implies 2x - 2 - 3x - 3 < 6 \implies -x - 5 < 6 \implies -x < 11 \implies x > -11$

したがって、$-11 < x \le 6$

(5)

方程式 $|2-5x| = 1$ を解く。

$2-5x = 1$ または $2-5x = -1$

$2-5x = 1 \implies -5x = -1 \implies x = \frac{1}{5}$

$2-5x = -1 \implies -5x = -3 \implies x = \frac{3}{5}$

したがって、$x = \frac{1}{5}, \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $10xy$

(2) $(3a+2)(5a-7)$

(3) $4\sqrt{6}$

(4) $-11 < x \le 6$

(5) $x = \frac{1}{5}, \frac{3}{5}$