(1) $p > 1, q > 1$ のとき、不等式 $p + q < pq + 1$ を証明する。 (2) $a > 1, b > 1$ のとき、不等式 $\sqrt{a+b-1} < \sqrt{a} + \sqrt{b} - 1$ を証明する。 (3) $a > 1, b > 1, c > 1$ のとき、不等式 $\sqrt{a+b+c-2} < \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - 2$ を証明する。

1. 問題の内容

(1) $p > 1, q > 1$ のとき、不等式 $p + q < pq + 1$ を証明する。

(2) $a > 1, b > 1$ のとき、不等式 $\sqrt{a+b-1} < \sqrt{a} + \sqrt{b} - 1$ を証明する。

(3) $a > 1, b > 1, c > 1$ のとき、不等式 $\sqrt{a+b+c-2} < \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - 2$ を証明する。

2. 解き方の手順

(1)

$p+q < pq+1$ を証明する。

$pq+1 - (p+q) = pq - p - q + 1 = p(q-1) - (q-1) = (p-1)(q-1)$

$p > 1, q > 1$ より、$p-1 > 0, q-1 > 0$ であるから、 $(p-1)(q-1) > 0$

よって、$pq+1 > p+q$ が成り立つ。

(2)

$\sqrt{a+b-1} < \sqrt{a} + \sqrt{b} - 1$ を証明する。

まず、両辺が正であることを確認する。$a>1, b>1$ より $a+b-1 > 1+1-1=1$ だから $\sqrt{a+b-1}>1$。また、$\sqrt{a}>1, \sqrt{b}>1$ より $\sqrt{a}+\sqrt{b}-1 > 1+1-1=1$なので$\sqrt{a}+\sqrt{b}-1>0$

両辺を2乗する。

$(\sqrt{a+b-1})^2 < (\sqrt{a} + \sqrt{b} - 1)^2$

$a+b-1 < a + b + 1 + 2\sqrt{ab} - 2\sqrt{a} - 2\sqrt{b}$

$a+b-1 < a + b + 1 + 2\sqrt{ab} - 2\sqrt{a} - 2\sqrt{b}$

$-2 < 2\sqrt{ab} - 2\sqrt{a} - 2\sqrt{b}$

$-1 < \sqrt{ab} - \sqrt{a} - \sqrt{b}$

$\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{ab} - 1 > 0$

$\sqrt{a}(1-\sqrt{b}) - (1-\sqrt{b}) > 0$

$(\sqrt{a}-1)(1-\sqrt{b}) > 0$

$(\sqrt{a}-1)(1-\sqrt{b}) = -(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1) > 0$

$a > 1, b > 1$ より、 $\sqrt{a} > 1, \sqrt{b} > 1$ であるから、 $\sqrt{a}-1 > 0, \sqrt{b}-1 > 0$

したがって、$(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1) > 0$

$-(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1) < 0$

これは誤り。

正しくは

$\sqrt{ab}-\sqrt{a}-\sqrt{b}+1>0$

$(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)>0$

$a>1, b>1$ より $\sqrt{a}>1, \sqrt{b}>1$ だから

$\sqrt{a}-1>0, \sqrt{b}-1>0$ よって$(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}-1)>0$が成立する。

したがって$\sqrt{a+b-1} < \sqrt{a} + \sqrt{b} - 1$が成立する。

(3)

$\sqrt{a+b+c-2} < \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - 2$ を証明する。

$A = \sqrt{a}, B = \sqrt{b}, C = \sqrt{c}$とおく。

$\sqrt{A^2 + B^2 + C^2 - 2} < A + B + C - 2$

両辺を2乗する。

$A^2 + B^2 + C^2 - 2 < (A+B+C-2)^2$

$A^2 + B^2 + C^2 - 2 < A^2 + B^2 + C^2 + 4 + 2AB + 2AC + 2BC - 4A - 4B - 4C$

$-2 < 4 + 2AB + 2AC + 2BC - 4A - 4B - 4C$

$0 < 6 + 2AB + 2AC + 2BC - 4A - 4B - 4C$

$0 < 3 + AB + AC + BC - 2A - 2B - 2C$

$2A + 2B + 2C < 3 + AB + AC + BC$

$2(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) < 3 + \sqrt{ab} + \sqrt{ac} + \sqrt{bc}$

これは示したい不等式ではない。

(2)を参考にすると

$a>1,b>1,c>1$のとき $\sqrt{a+b+c-2}<\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-2$

まず両辺が正であることを示す。

$\sqrt{a+b+c-2}>1$であり、$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-2>1+1+1-2=1$より

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-2>1$である。

両辺を2乗する。

$a+b+c-2<a+b+c+4+2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}-4\sqrt{a}-4\sqrt{b}-4\sqrt{c}$

$-6<2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}-4\sqrt{a}-4\sqrt{b}-4\sqrt{c}$

$-3<\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}-2\sqrt{a}-2\sqrt{b}-2\sqrt{c}$

$\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}-2\sqrt{a}-2\sqrt{b}-2\sqrt{c}+3>0$

$\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c}-2)+\sqrt{bc}-2\sqrt{b}-2\sqrt{c}+3>0$

$(\sqrt{a}-1)(\sqrt{b}+\sqrt{c}-2)-(\sqrt{b}-1)(\sqrt{c}-1)+1>0$

3. 最終的な答え

(1) $p+q < pq+1$

(2) $\sqrt{a+b-1} < \sqrt{a} + \sqrt{b} - 1$

(3) $\sqrt{a+b+c-2} < \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - 2$