2次方程式 $2x^2 + 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha - 1$、$\beta - 1$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha - 1$、$\beta - 1$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2x^2 + 4x + 1 = 0$ の解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

$2x^2 + 4x + 1 = 0$ を $x^2 + 2x + \frac{1}{2} = 0$ と変形します。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -2$

$\alpha \beta = \frac{1}{2}$

次に、求める2次方程式の解である $\alpha - 1$ と $\beta - 1$ の和と積を計算します。

$(\alpha - 1) + (\beta - 1) = \alpha + \beta - 2 = -2 - 2 = -4$

$(\alpha - 1)(\beta - 1) = \alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1 = \frac{1}{2} - (-2) + 1 = \frac{1}{2} + 2 + 1 = \frac{7}{2}$

求める2次方程式は、$x^2$ の係数が1なので、

$x^2 - ((\alpha - 1) + (\beta - 1))x + (\alpha - 1)(\beta - 1) = 0$

すなわち、

$x^2 - (-4)x + \frac{7}{2} = 0$

$x^2 + 4x + \frac{7}{2} = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + 4x + \frac{7}{2} = 0$