定数 $a$ を用いて定義された関数 $y = x^2 - 6ax + a^2 - 1$ について、定義域 $0 \le x \le 2$ における最小値を求めよ。

1. 問題の内容

定数 $a$ を用いて定義された関数 $y = x^2 - 6ax + a^2 - 1$ について、定義域 $0 \le x \le 2$ における最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= x^2 - 6ax + a^2 - 1 \\

&= (x - 3a)^2 - 9a^2 + a^2 - 1 \\

&= (x - 3a)^2 - 8a^2 - 1

\end{align*}

したがって、この二次関数の頂点の座標は $(3a, -8a^2 - 1)$ です。定義域が $0 \le x \le 2$ であることに注意し、軸 $x = 3a$ が定義域に対してどこにあるかで場合分けを行います。

(i) $3a < 0$ つまり $a < 0$ のとき：

定義域 $0 \le x \le 2$ において、関数は単調減少であるため、$x = 2$ で最小値をとります。

このときの最小値は

$y = 2^2 - 6a(2) + a^2 - 1 = 4 - 12a + a^2 - 1 = a^2 - 12a + 3$

(ii) $0 \le 3a \le 2$ つまり $0 \le a \le \frac{2}{3}$ のとき：

頂点 $x = 3a$ が定義域に含まれるため、$x = 3a$ で最小値をとります。

このときの最小値は $y = -8a^2 - 1$

(iii) $3a > 2$ つまり $a > \frac{2}{3}$ のとき：

定義域 $0 \le x \le 2$ において、関数は単調増加であるため、$x = 0$ で最小値をとります。

このときの最小値は

$y = 0^2 - 6a(0) + a^2 - 1 = a^2 - 1$

3. 最終的な答え

最小値は、

$a < 0$ のとき、$a^2 - 12a + 3$

$0 \le a \le \frac{2}{3}$ のとき、$-8a^2 - 1$

$a > \frac{2}{3}$ のとき、$a^2 - 1$