関数 $y = ax + b$ ($-1 \le x \le 2$) の値域が $-7 \le y \le 8$ となるような定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = ax + b$ ($-1 \le x \le 2$) の値域が $-7 \le y \le 8$ となるような定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$y = ax + b$ は一次関数なので、

- $a > 0$ のとき、$x$ が増加すると $y$ も増加します。

- $a < 0$ のとき、$x$ が増加すると $y$ は減少します。

(i) $a > 0$ のとき

$x = -1$ のとき $y = -7$、 $x = 2$ のとき $y = 8$ となるので、以下の連立方程式が成り立ちます。

$-a + b = -7$

$2a + b = 8$

この連立方程式を解きます。

第2式から第1式を引くと、

$(2a + b) - (-a + b) = 8 - (-7)$

$3a = 15$

$a = 5$

これを $-a + b = -7$ に代入すると、

$-5 + b = -7$

$b = -2$

したがって、$a = 5, b = -2$

(ii) $a < 0$ のとき

$x = -1$ のとき $y = 8$、 $x = 2$ のとき $y = -7$ となるので、以下の連立方程式が成り立ちます。

$-a + b = 8$

$2a + b = -7$

この連立方程式を解きます。

第1式から第2式を引くと、

$(-a + b) - (2a + b) = 8 - (-7)$

$-3a = 15$

$a = -5$

これを $-a + b = 8$ に代入すると、

$-(-5) + b = 8$

$5 + b = 8$

$b = 3$

したがって、$a = -5, b = 3$

3. 最終的な答え

$a = 5, b = -2$ または $a = -5, b = 3$