$x = \frac{1}{\sqrt{5}+2}$ 、 $y = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$ のとき、次の2つの式の値を求める問題です。 (1) $x^2 + xy + y^2$ (2) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5}+2}$ 、 $y = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$ のとき、次の2つの式の値を求める問題です。

(1) $x^2 + xy + y^2$

(2) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \frac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \sqrt{5}-2$

$y = \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

(1) $x^2 + xy + y^2$ の値を求めます。

$x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy$ であることを利用します。

$x+y = (\sqrt{5}-2) + (\sqrt{5}+2) = 2\sqrt{5}$

$xy = (\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) = 5-4 = 1$

よって、

$x^2 + xy + y^2 = (2\sqrt{5})^2 - 1 = 4 \cdot 5 - 1 = 20 - 1 = 19$

(2) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ の値を求めます。

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^2 + x^2}{xy} = \frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy}$ を利用します。

$x+y = 2\sqrt{5}$

$xy = 1$

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{(2\sqrt{5})^2 - 2(1)}{1} = \frac{20-2}{1} = 18$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + xy + y^2 = 19$

(2) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 18$