与えられた連立方程式を解いて、$x$と$y$の値を求めます。 連立方程式は以下の通りです。 $\begin{cases} \sqrt{2}x + \sqrt{3}y = 1 \\ \sqrt{3}x - \sqrt{2}y = 1 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解いて、$x$と$y$の値を求めます。

連立方程式は以下の通りです。

$\begin{cases}

\sqrt{2}x + \sqrt{3}y = 1 \\

\sqrt{3}x - \sqrt{2}y = 1

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を解くために、一方の変数を消去します。

1つ目の式に$\sqrt{2}$をかけ、2つ目の式に$\sqrt{3}$をかけます。

$\begin{cases}

\sqrt{2}(\sqrt{2}x + \sqrt{3}y) = \sqrt{2}(1) \\

\sqrt{3}(\sqrt{3}x - \sqrt{2}y) = \sqrt{3}(1)

\end{cases}$

計算すると、次のようになります。

$\begin{cases}

2x + \sqrt{6}y = \sqrt{2} \\

3x - \sqrt{6}y = \sqrt{3}

\end{cases}$

次に、2つの式を足し合わせると、$y$の項が消えます。

$(2x + \sqrt{6}y) + (3x - \sqrt{6}y) = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

$5x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

$x = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{5}$

求めた$x$の値を最初の式に代入します。

$\sqrt{2}x + \sqrt{3}y = 1$

$\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{5}) + \sqrt{3}y = 1$

$\frac{2 + \sqrt{6}}{5} + \sqrt{3}y = 1$

$\sqrt{3}y = 1 - \frac{2 + \sqrt{6}}{5}$

$\sqrt{3}y = \frac{5 - 2 - \sqrt{6}}{5}$

$\sqrt{3}y = \frac{3 - \sqrt{6}}{5}$

$y = \frac{3 - \sqrt{6}}{5\sqrt{3}}$

$y = \frac{(3 - \sqrt{6})\sqrt{3}}{5\sqrt{3}\sqrt{3}}$

$y = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{18}}{15}$

$y = \frac{3\sqrt{3} - 3\sqrt{2}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{5}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{5}$