2次方程式 $x^2 - 2(m-2)x + 4(m+1) = 0$ が異なる2つの正の実数解を持つような $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(m-2)x + 4(m+1) = 0$ が異なる2つの正の実数解を持つような $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの正の実数解を持つための条件は、以下の3つです。

(1) 判別式 $D > 0$

(2) 軸 > 0

(3) $f(0) > 0$

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (-2(m-2))^2 - 4(1)(4(m+1)) = 4(m^2 - 4m + 4) - 16(m+1) = 4m^2 - 16m + 16 - 16m - 16 = 4m^2 - 32m$

$D > 0$ より、

$4m^2 - 32m > 0$

$4m(m - 8) > 0$

$m < 0$ または $m > 8$

次に、軸を計算します。

軸は $\frac{-(-2(m-2))}{2(1)} = m-2$

軸 > 0 より、

$m - 2 > 0$

$m > 2$

最後に、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = (0)^2 - 2(m-2)(0) + 4(m+1) = 4(m+1)$

$f(0) > 0$ より、

$4(m+1) > 0$

$m+1 > 0$

$m > -1$

3つの条件を全て満たす $m$ の範囲を求めます。

(1) $m < 0$ または $m > 8$

(2) $m > 2$

(3) $m > -1$

(1)と(2)と(3)を満たす範囲は、$m > 8$ です。

3. 最終的な答え

$m > 8$