不等式 $\log_2(x+1) + \log_2(x-3) \geq 2$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\log_2(x+1) + \log_2(x-3) \geq 2$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の真数条件を確認します。

$x+1 > 0$ かつ $x-3 > 0$ でなければなりません。

したがって、$x > -1$ かつ $x > 3$ より、$x > 3$ が真数条件となります。

次に、不等式を解きます。対数の性質 $\log_a(x) + \log_a(y) = \log_a(xy)$ を用いると、

$\log_2(x+1) + \log_2(x-3) = \log_2((x+1)(x-3))$ となります。

したがって、不等式は $\log_2((x+1)(x-3)) \geq 2$ となります。

底が2なので、両辺を2を底とする指数関数で表すと、

$(x+1)(x-3) \geq 2^2$ となります。

$(x+1)(x-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$

なので、

$x^2 - 2x - 3 \geq 4$

$x^2 - 2x - 7 \geq 0$

この2次不等式を解くために、$x^2 - 2x - 7 = 0$ の解を求めます。

解の公式より、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-7)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 28}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{2}$

したがって、$x \leq 1 - 2\sqrt{2}$ または $x \geq 1 + 2\sqrt{2}$ となります。

$2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828$ なので、$1 - 2\sqrt{2} \approx 1 - 2.828 = -1.828$ および $1 + 2\sqrt{2} \approx 1 + 2.828 = 3.828$

真数条件 $x > 3$ と不等式の解を合わせると、

$x \leq 1 - 2\sqrt{2}$ は $x > 3$ を満たさないので不適。

$x \geq 1 + 2\sqrt{2}$ は $1 + 2\sqrt{2} \approx 3.828$ であり、$x > 3$ を満たすので、この範囲が解となる。

3. 最終的な答え

$x \geq 1 + 2\sqrt{2}$