2倍の行列式が与えられています。左側の行列式は、 $\begin{vmatrix} 3 & a & b \\ -8 & 0 & 0 \\ 9 & c & d \end{vmatrix}$ で、右側の行列式は、 $8\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \end{vmatrix}$ です。 この等式が成立することを確かめます。

1. 問題の内容

2倍の行列式が与えられています。左側の行列式は、

$\begin{vmatrix} 3 & a & b \\ -8 & 0 & 0 \\ 9 & c & d \end{vmatrix}$

で、右側の行列式は、

$8\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \end{vmatrix}$

です。

この等式が成立することを確かめます。

2. 解き方の手順

左側の行列式を展開します。第2行に沿って展開するのが簡単です。

$\begin{vmatrix} 3 & a & b \\ -8 & 0 & 0 \\ 9 & c & d \end{vmatrix} = -(-8) \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = 8(ad - bc)$

右側の行列式を展開します。第1行に沿って展開するのが簡単です。

$8\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \end{vmatrix} = 8(1 \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} - 0 + 0) = 8(ad - bc)$

左側の行列式の2倍は、

$2 \begin{vmatrix} 3 & a & b \\ -8 & 0 & 0 \\ 9 & c & d \end{vmatrix} = 2(8(ad - bc)) = 16(ad - bc)$

右側の行列式は、

$8\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \end{vmatrix} = 8(ad - bc)$

したがって、等式

$2 \begin{vmatrix} 3 & a & b \\ -8 & 0 & 0 \\ 9 & c & d \end{vmatrix} = 8\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \end{vmatrix}$

は、一般には成立しません。

正しい等式は、

$2 \begin{vmatrix} 3 & a & b \\ -8 & 0 & 0 \\ 9 & c & d \end{vmatrix} = 16(ad - bc)$

または

$8\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \end{vmatrix} = 8(ad - bc)$

です。

3. 最終的な答え

与えられた等式は成立しません。

左辺は $16(ad-bc)$ で、右辺は $8(ad-bc)$ です。

もし $ad-bc=0$ であれば等式は成立します。