不等式 $a^2 - a + b^2 - b + \frac{1}{2} \geq 0$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 - a + b^2 - b + \frac{1}{2} \geq 0$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

与えられた不等式の左辺を平方完成することで、証明を行う。

まず、$a$ に関する部分を平方完成する。

$a^2 - a = (a - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

次に、$b$ に関する部分を平方完成する。

$b^2 - b = (b - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

したがって、

$a^2 - a + b^2 - b + \frac{1}{2} = (a - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (b - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

$= (a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$= (a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2$

ここで、$(a - \frac{1}{2})^2 \geq 0$ かつ $(b - \frac{1}{2})^2 \geq 0$ であるから、

$(a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2 \geq 0$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$(a - \frac{1}{2})^2 = 0$ かつ $(b - \frac{1}{2})^2 = 0$ のときである。

つまり、$a = \frac{1}{2}$ かつ $b = \frac{1}{2}$ のときである。

3. 最終的な答え

不等式 $a^2 - a + b^2 - b + \frac{1}{2} \geq 0$ は成り立つ。

等号が成り立つのは、$a = \frac{1}{2}$ かつ $b = \frac{1}{2}$ のときである。