2次関数 $y = \frac{1}{3}(x+3)^2 + 1$ の $-6 \le x \le 3$ の範囲における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = \frac{1}{3}(x+3)^2 + 1$ の $-6 \le x \le 3$ の範囲における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数は $y = \frac{1}{3}(x+3)^2 + 1$ である。

これは、頂点が $(-3, 1)$ で下に凸な放物線である。

定義域は $-6 \le x \le 3$ である。

頂点の $x$ 座標である $-3$ は定義域に含まれている。

$x = -3$ のとき、最小値は $y = \frac{1}{3}(-3+3)^2 + 1 = 1$ となる。

定義域の端点である $x = -6$ および $x = 3$ のときの $y$ の値を調べる。

$x = -6$ のとき、

$y = \frac{1}{3}(-6+3)^2 + 1 = \frac{1}{3}(-3)^2 + 1 = \frac{1}{3} \cdot 9 + 1 = 3 + 1 = 4$

$x = 3$ のとき、

$y = \frac{1}{3}(3+3)^2 + 1 = \frac{1}{3}(6)^2 + 1 = \frac{1}{3} \cdot 36 + 1 = 12 + 1 = 13$

したがって、この範囲における最大値は $13$ であり、最小値は $1$ である。

最大値を取る $x$ の値は $x=3$ である。

最小値を取る $x$ の値は $x=-3$ である。

3. 最終的な答え

$x = 3$ のとき最大値 $13$

$x = -3$ のとき最小値 $1$