2次関数 $y = -3x^2 + 24x - 45$ の最大値、最小値を求める問題です。 (1) 与えられた2次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形しなさい。 (2) グラフをかいて、空欄を埋めなさい。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -3x^2 + 24x - 45$ の最大値、最小値を求める問題です。

(1) 与えられた2次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形しなさい。

(2) グラフをかいて、空欄を埋めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y = -3x^2 + 24x - 45$ を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形する。

まず、$x^2$ の係数で $x$ の項までをくくり出す。

$y = -3(x^2 - 8x) - 45$

次に、括弧の中を平方完成させる。

$x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16$ なので、

$y = -3\{(x - 4)^2 - 16\} - 45$

$y = -3(x - 4)^2 + 48 - 45$

$y = -3(x - 4)^2 + 3$

(2) グラフから、頂点の座標を読み取る。グラフから頂点は $(4, 3)$ である。

したがって、$x = 4$ のとき、最大値 $3$ をとる。

最小値は存在しない（グラフは下に無限に伸びている）。

3. 最終的な答え

(1) $y = -3 (x^2 - 8x) - 45$

$y = -3\{(x - 4)^2 - 16\} - 45$

$y = -3(x - 4)^2 + 48 - 45$

$y = -3(x - 4)^2 + 3$

(2) グラフより

$x = 4$ のとき、

最大値 $3$

最小値は なし