2次関数の定義域が与えられたとき、グラフを書き、最大値と最小値を求めます。今回は、(2) $y = -2x^2 - 12x - 15$ ($-5 \leq x \leq -2$) の問題を解きます。

1. 問題の内容

2次関数の定義域が与えられたとき、グラフを書き、最大値と最小値を求めます。今回は、(2) $y = -2x^2 - 12x - 15$ ($-5 \leq x \leq -2$) の問題を解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 - 12x - 15$

$y = -2(x^2 + 6x) - 15$

$y = -2(x^2 + 6x + 9 - 9) - 15$

$y = -2((x+3)^2 - 9) - 15$

$y = -2(x+3)^2 + 18 - 15$

$y = -2(x+3)^2 + 3$

これにより、頂点の座標は $(-3, 3)$ であることがわかります。また、$x^2$の係数が負であるため、上に凸のグラフとなります。

定義域は$-5 \leq x \leq -2$なので、この範囲での最大値と最小値を考えます。

頂点のx座標である$x = -3$は定義域に含まれています。したがって、頂点で最大値をとります。

最大値は$y = 3$ （$x = -3$のとき）です。

次に、定義域の端点での値を計算します。

$x = -5$のとき、

$y = -2(-5+3)^2 + 3 = -2(-2)^2 + 3 = -2(4) + 3 = -8 + 3 = -5$

$x = -2$のとき、

$y = -2(-2+3)^2 + 3 = -2(1)^2 + 3 = -2 + 3 = 1$

したがって、定義域の端点での値はそれぞれ$x=-5$で$y=-5$, $x=-2$で$y=1$です。

頂点での$y$の値は$3$なので、$x=-3$の時、最大値$y=3$です。最小値は$x=-5$の時、$y=-5$です。

3. 最終的な答え

x = -3 のとき、最大値 3

x = -5 のとき、最小値 -5