与えられた4つの行列を、それぞれ階段行列に変形する問題です。行の変形操作を記述する必要があります。行の変形操作の例として、$i$行に$j$行の$k$倍を加える操作（$i + j \times k$）と、$i$行と$j$行を入れ替える操作（$i \leftrightarrow j$）が示されています。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列を、それぞれ階段行列に変形する問題です。行の変形操作を記述する必要があります。行の変形操作の例として、$i$行に$j$行の$k$倍を加える操作（$i + j \times k$）と、$i$行と$j$行を入れ替える操作（$i \leftrightarrow j$）が示されています。

2. 解き方の手順

(1)

行列は

$\begin{pmatrix}

-1 & 1 & 3 \\

4 & -2 & -2 \\

3 & -1 & 1

\end{pmatrix}$

1行目に-1をかける:

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 \\

4 & -2 & -2 \\

3 & -1 & 1

\end{pmatrix}$

2行目に1行目の-4倍を加える($2 + 1 \times -4$):

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 \\

0 & 2 & 10 \\

3 & -1 & 1

\end{pmatrix}$

3行目に1行目の-3倍を加える($3 + 1 \times -3$):

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 \\

0 & 2 & 10 \\

0 & 2 & 10

\end{pmatrix}$

3行目に2行目の-1倍を加える($3 + 2 \times -1$):

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 \\

0 & 2 & 10 \\

0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

(2)

行列は

$\begin{pmatrix}

3 & 2 & 13 \\

1 & -2 & -1 \\

2 & 1 & 8

\end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替える($1 \leftrightarrow 2$):

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & -1 \\

3 & 2 & 13 \\

2 & 1 & 8

\end{pmatrix}$

2行目に1行目の-3倍を加える($2 + 1 \times -3$):

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & -1 \\

0 & 8 & 16 \\

2 & 1 & 8

\end{pmatrix}$

3行目に1行目の-2倍を加える($3 + 1 \times -2$):

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & -1 \\

0 & 8 & 16 \\

0 & 5 & 10

\end{pmatrix}$

3行目に2行目の -5/8 倍を加える($3 + 2 \times -5/8$):

$\begin{pmatrix}

1 & -2 & -1 \\

0 & 8 & 16 \\

0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

(3)

行列は

$\begin{pmatrix}

0 & 2 & 4 & 2 \\

1 & 2 & 3 & 1 \\

-2 & -1 & 0 & 1

\end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替える($1 \leftrightarrow 2$):

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 1 \\

0 & 2 & 4 & 2 \\

-2 & -1 & 0 & 1

\end{pmatrix}$

3行目に1行目の2倍を加える($3 + 1 \times 2$):

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 1 \\

0 & 2 & 4 & 2 \\

0 & 3 & 6 & 3

\end{pmatrix}$

3行目に2行目の -3/2 倍を加える($3 + 2 \times -3/2$):

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 1 \\

0 & 2 & 4 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

(4)

行列は

$\begin{pmatrix}

2 & 6 & -3 & -12 & -1 \\

1 & 3 & -2 & -7 & -1 \\

3 & 9 & -3 & -14 & -1

\end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替える($1 \leftrightarrow 2$):

$\begin{pmatrix}

1 & 3 & -2 & -7 & -1 \\

2 & 6 & -3 & -12 & -1 \\

3 & 9 & -3 & -14 & -1

\end{pmatrix}$

2行目に1行目の-2倍を加える($2 + 1 \times -2$):

$\begin{pmatrix}

1 & 3 & -2 & -7 & -1 \\

0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\

3 & 9 & -3 & -14 & -1

\end{pmatrix}$

3行目に1行目の-3倍を加える($3 + 1 \times -3$):

$\begin{pmatrix}

1 & 3 & -2 & -7 & -1 \\

0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 0 & 3 & 7 & 2

\end{pmatrix}$

3行目に2行目の-3倍を加える($3 + 2 \times -3$):

$\begin{pmatrix}

1 & 3 & -2 & -7 & -1 \\

0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 1 & -1

\end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 \\ 0 & 2 & 10 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 0 & 8 & 16 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & -7 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$