問題9, 10, 11について、以下の内容を求めます。 - 問題9：2次方程式 $(a-3)x^2 + 2(a+3)x + a+5 = 0$ が実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。 - 問題10：2次関数 $y=9x^2-6x+1$ と $y=3x^2-8x-1$ のグラフとx軸の共有点を求めます。 - 問題11：放物線 $y = 2x^2 + 3x - a + 1$ と x軸の共有点の個数を求めます。

1. 問題の内容

問題9, 10, 11について、以下の内容を求めます。

- 問題9：2次方程式 $(a-3)x^2 + 2(a+3)x + a+5 = 0$ が実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

- 問題10：2次関数 $y=9x^2-6x+1$ と $y=3x^2-8x-1$ のグラフとx軸の共有点を求めます。

- 問題11：放物線 $y = 2x^2 + 3x - a + 1$ と x軸の共有点の個数を求めます。

2. 解き方の手順

- 問題9：

- 2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D \geq 0$ であることです。

- 判別式 $D$ を計算します。$D = [2(a+3)]^2 - 4(a-3)(a+5)$

- $D = 4(a^2 + 6a + 9) - 4(a^2 + 2a - 15)$

- $D = 4a^2 + 24a + 36 - 4a^2 - 8a + 60$

- $D = 16a + 96$

- $D \geq 0$ より、$16a + 96 \geq 0$

- $16a \geq -96$

- $a \geq -6$

- ただし、$a = 3$ のとき、これは一次方程式になり、実数解を持つので、問題文の条件を満たす。

- 問題10：

- (1) $y = 9x^2 - 6x + 1$

- $y = (3x - 1)^2$

- $y=0$ となるのは $3x - 1 = 0$ のとき

- $x = \frac{1}{3}$

- よって、共有点は $(\frac{1}{3}, 0)$

- (2) $y = 3x^2 - 8x - 1$

- $y = 0$ となるxを求めるために解の公式を使います。

- $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 12}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{76}}{6}$

- $x = \frac{8 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{19}}{3}$

- よって、共有点は $(\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, 0)$ と $(\frac{4 - \sqrt{19}}{3}, 0)$

- 問題11：

- $y = 2x^2 + 3x - a + 1$

- x軸との共有点の個数を求めるので、$y=0$ となるxの個数を求める。

- 判別式 $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-a + 1) = 9 + 8a - 8 = 8a + 1$

- $D > 0$ のとき、共有点は2個。$8a + 1 > 0$ より $a > -\frac{1}{8}$

- $D = 0$ のとき、共有点は1個。$8a + 1 = 0$ より $a = -\frac{1}{8}$

- $D < 0$ のとき、共有点は0個。$8a + 1 < 0$ より $a < -\frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

- 問題9：$a \geq -6$

- 問題10：(1) $(\frac{1}{3}, 0)$, (2) $(\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, 0)$ と $(\frac{4 - \sqrt{19}}{3}, 0)$

- 問題11：$a > -\frac{1}{8}$ のとき2個、$a = -\frac{1}{8}$ のとき1個、$a < -\frac{1}{8}$ のとき0個