与えられたキャパシタンス $C = 100 \mu F$ に、周波数 $f = 100/\pi Hz$ の交流電流 $I = 10 \angle -135^\circ A$ が流れているとき、キャパシタンスの端子電圧 $V$ のフェーザ表示と複素数表示、および絶対値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられたキャパシタンス $C = 100 \mu F$ に、周波数 $f = 100/\pi Hz$ の交流電流 $I = 10 \angle -135^\circ A$ が流れているとき、キャパシタンスの端子電圧 $V$ のフェーザ表示と複素数表示、および絶対値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、キャパシタンスのインピーダンス $Z_C$ を計算します。

$Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{j2\pi f C}$

ここで、$\omega = 2\pi f$ は角周波数です。与えられた値 $f = 100/\pi Hz$ と $C = 100 \times 10^{-6} F$ を代入します。

$Z_C = \frac{1}{j2\pi (100/\pi) (100 \times 10^{-6})} = \frac{1}{j2 \times 100 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{j0.02} = -j50 \ \Omega$

次に、オームの法則を用いて電圧 $V$ を計算します。

$V = Z_C I = (-j50) \times (10 \angle -135^\circ) = (50 \angle -90^\circ) \times (10 \angle -135^\circ) = 500 \angle (-90^\circ - 135^\circ) = 500 \angle -225^\circ \ V$

したがって、電圧のフェーザ表示は $V = 500 \angle -225^\circ \ V$ となります。

次に、複素数表示を求めます。

$V = 500 \angle -225^\circ = 500 (\cos(-225^\circ) + j\sin(-225^\circ)) = 500 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - j\frac{\sqrt{2}}{2}) = -500 \times \frac{\sqrt{2}}{2} - j500 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = -250\sqrt{2} - j250\sqrt{2} \ V$

$\sqrt{2} \approx 1.414$なので

$V \approx -250 \times 1.414 - j250 \times 1.414 = -353.5 - j353.5 \ V$

電圧の絶対値は $|V| = 500 \ V$ です。

3. 最終的な答え

$V = 500 \angle -225^\circ \ [V]$

$V = -353.5 - j353.5 \ [V]$

$|V| = 500.0 \ [V]$