静電容量 $C = 100 \, [\mu \text{F}]$ のコンデンサに、周波数 $f = \frac{100}{\pi} \, [\text{Hz}]$ 、電圧 $\dot{V} = 250 \angle 60^\circ \, [\text{V}]$ がかかっているとき、コンデンサに流れる電流 $\dot{I}$ のフェーザ表示と複素数表示を求めよ。

1. 問題の内容

静電容量 $C = 100 \, [\mu \text{F}]$ のコンデンサに、周波数 $f = \frac{100}{\pi} \, [\text{Hz}]$ 、電圧 $\dot{V} = 250 \angle 60^\circ \, [\text{V}]$ がかかっているとき、コンデンサに流れる電流 $\dot{I}$ のフェーザ表示と複素数表示を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、コンデンサのインピーダンス $Z_C$ を求める。

$Z_C = \frac{1}{j \omega C} = \frac{1}{j 2 \pi f C}$

与えられた値を代入する。

$C = 100 \, [\mu \text{F}] = 100 \times 10^{-6} \, [\text{F}]$

$f = \frac{100}{\pi} \, [\text{Hz}]$

したがって、

$Z_C = \frac{1}{j 2 \pi (\frac{100}{\pi}) (100 \times 10^{-6})} = \frac{1}{j 2 \times 100 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{j 0.02} = \frac{1}{j} \times 50 = -j50 \, [\Omega]$

次に、電流 $\dot{I}$ を求める。

$\dot{I} = \frac{\dot{V}}{Z_C} = \frac{250 \angle 60^\circ}{-j50} = \frac{250 \angle 60^\circ}{50 \angle -90^\circ} = 5 \angle (60^\circ + 90^\circ) = 5 \angle 150^\circ \, [\text{A}]$

最後に、複素数表示に変換する。

$\dot{I} = 5 \angle 150^\circ = 5 (\cos 150^\circ + j \sin 150^\circ) = 5 (-\frac{\sqrt{3}}{2} + j \frac{1}{2}) = -\frac{5\sqrt{3}}{2} + j \frac{5}{2} \, [\text{A}]$

$\frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4.33$

$\frac{5}{2} = 2.5$

$\dot{I} \approx -4.33 + j2.5 \, [\text{A}]$

3. 最終的な答え

フェーザ表示：$5 \angle 150^\circ \, [\text{A}]$

複素数表示：$-\frac{5\sqrt{3}}{2} + j \frac{5}{2} \, [\text{A}]$

フェーザ表示：5 ∠ 150 [A]

複素数表示：-4.33 + j2.5 [A]