内径 $d=10 \text{ mm}$ の滑らかな円管内を、速度 $v=2.5 \text{ m/s}$ で空気が流れている。空気の動粘性係数は $v=1.515 \times 10^{-5} \text{ m}^2/\text{s}$、密度は $\rho = 1.21 \text{ kg/m}^3$ である。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) 流れのレイノルズ数 $Re$ を計算せよ。 (2) 管摩擦係数 $\lambda$ を求めよ。 (3) 配管長さが $l=50 \text{ m}$ の場合、管摩擦損失 $\Delta P$ を求めよ。

1. 問題の内容

内径 $d=10 \text{ mm}$ の滑らかな円管内を、速度 $v=2.5 \text{ m/s}$ で空気が流れている。空気の動粘性係数は $v=1.515 \times 10^{-5} \text{ m}^2/\text{s}$、密度は $\rho = 1.21 \text{ kg/m}^3$ である。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 流れのレイノルズ数 $Re$ を計算せよ。

(2) 管摩擦係数 $\lambda$ を求めよ。

(3) 配管長さが $l=50 \text{ m}$ の場合、管摩擦損失 $\Delta P$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) レイノルズ数 $Re$ の計算

レイノルズ数 $Re$ は、以下の式で定義される。

$Re = \frac{v d}{v}$

ここで、$v$ は流速、$d$ は管の内径、$v$ は動粘性係数である。

数値を代入する前に、単位を SI 単位に統一する。

$d = 10 \text{ mm} = 0.01 \text{ m}$

$v = 2.5 \text{ m/s}$

$v = 1.515 \times 10^{-5} \text{ m}^2/\text{s}$

したがって、

$Re = \frac{2.5 \text{ m/s} \times 0.01 \text{ m}}{1.515 \times 10^{-5} \text{ m}^2/\text{s}} = \frac{0.025}{1.515 \times 10^{-5}} \approx 16501.65$

(2) 管摩擦係数 $\lambda$ の計算

円管が滑らかであることから、Blasius の式（またはMoody線図など）を利用できる。レイノルズ数が十分に大きい領域では、Blasiusの式が適用できる場合がある。滑らかな管の場合、例えば以下の近似式が使える。

$\lambda = 0.3164Re^{-0.25}$　もしくは Moody線図から求める。

$Re = 16501.65$ なので、この式を用いる。

$\lambda = 0.3164 \times (16501.65)^{-0.25} \approx 0.3164 \times 0.0742 \approx 0.0235$

(3) 管摩擦損失 $\Delta P$ の計算

管摩擦損失 $\Delta P$ は、ダルシー・ワイスバッハの式で計算できる。

$\Delta P = \lambda \frac{l}{d} \frac{\rho v^2}{2}$

ここで、$\lambda$ は管摩擦係数、$l$ は管の長さ、$d$ は管の内径、$\rho$ は流体の密度、$v$ は流速である。

数値を代入する。

$\lambda = 0.0235$

$l = 50 \text{ m}$

$d = 0.01 \text{ m}$

$\rho = 1.21 \text{ kg/m}^3$

$v = 2.5 \text{ m/s}$

$\Delta P = 0.0235 \times \frac{50 \text{ m}}{0.01 \text{ m}} \times \frac{1.21 \text{ kg/m}^3 \times (2.5 \text{ m/s})^2}{2}$

$\Delta P = 0.0235 \times 5000 \times \frac{1.21 \times 6.25}{2} = 117.5 \times 3.78125 \approx 444.3 \text{ Pa}$

3. 最終的な答え

(1) レイノルズ数 $Re$: $16501.65$

(2) 管摩擦係数 $\lambda$: $0.0235$

(3) 管摩擦損失 $\Delta P$: $444.3 \text{ Pa}$