密度 $\rho_f = 9.5 \times 10^2 \, \text{kg/m}^3$ の水中を、密度 $\rho_p = 1.5 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3$ の球形の微粒子が、終端速度 $v = 4.5 \times 10^{-4} \, \text{m/s}$ で沈降している。このとき、微粒子の直径 $d$ を求める。ただし、重力加速度は $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$ であり、水の粘度は $\mu = 1.0 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s}$ であるとする。

1. 問題の内容

密度 $\rho_f = 9.5 \times 10^2 \, \text{kg/m}^3$ の水中を、密度 $\rho_p = 1.5 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3$ の球形の微粒子が、終端速度 $v = 4.5 \times 10^{-4} \, \text{m/s}$ で沈降している。このとき、微粒子の直径 $d$ を求める。ただし、重力加速度は $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$ であり、水の粘度は $\mu = 1.0 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s}$ であるとする。

2. 解き方の手順

微粒子が定常状態（終端速度）で沈降しているとき、重力、浮力、抵抗力がつり合っている。重力 $F_g$ は、

$F_g = V_p \rho_p g = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho_p g$

浮力 $F_b$ は、

$F_b = V_p \rho_f g = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho_f g$

抵抗力 $F_d$ は、ストークスの法則に従うとすると、

$F_d = 6 \pi \mu r v$

ここで、$r$ は微粒子の半径である。

これらの力がつり合っているとき、$F_g = F_b + F_d$ が成り立つので、

$\frac{4}{3} \pi r^3 \rho_p g = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho_f g + 6 \pi \mu r v$

$\frac{4}{3} \pi r^3 (\rho_p - \rho_f) g = 6 \pi \mu r v$

$r^2 = \frac{9 \mu v}{2 (\rho_p - \rho_f) g}$

$r = \sqrt{\frac{9 \mu v}{2 (\rho_p - \rho_f) g}}$

直径 $d = 2r$ なので、

$d = 2 \sqrt{\frac{9 \mu v}{2 (\rho_p - \rho_f) g}} = \sqrt{\frac{18 \mu v}{2 (\rho_p - \rho_f) g}} = \sqrt{\frac{9 \mu v}{(\rho_p - \rho_f) g}}$

与えられた値を代入すると、

$d = \sqrt{\frac{9 \times 1.0 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s} \times 4.5 \times 10^{-4} \, \text{m/s}}{(1.5 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3 - 9.5 \times 10^2 \, \text{kg/m}^3) \times 9.8 \, \text{m/s}^2}}$

$d = \sqrt{\frac{4.05 \times 10^{-6}}{5.5 \times 10^2 \times 9.8}} = \sqrt{\frac{4.05 \times 10^{-6}}{5390}} = \sqrt{7.5139 \times 10^{-10}} \approx 2.74 \times 10^{-5} \, \text{m}$

3. 最終的な答え

$2.74 \times 10^{-5} \, \text{m}$